Открытый банк заданий ЕГЭ и ОГЭ 2026

[рис.] а)  Пусть точка О  — центр шара, R  — его радиус. Прямая OB перпендикулярна плоскости основания пирамиды, поэтому OB образует прямые углы с прямыми AB и BC. Значит,

$OA ^2 = AB ^2 + OB ^2 = BC ^2 + OB ^2 = OC ^2$

Отсюда центр шара = удален от концов отрезка AC, а значит лежит на плоскости, проходящей через середину AC и перпендикулярной ему. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть шар касается ребра SA в точке G. Шар касается плоскости основания, поэтому его центр  — точка O  — лежит на прямой, проходящей через точку B перпендикулярно ABC. Расстояния от точки O до плоскости основания и до ребра прямой AS = радиусу шара: $OB = OG = R$
По свойству проведенных из одной точки касательных к шару: $AB = AG = 3$ SG  =  1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OGS прямоугольный. По теореме Пифагора найдем квадрат его гипотенузы: $OS ^2 = R ^2 + 1$
Проведем высоту пирамиды SH. Точка H  — центр основания, поэтому

$AH=BH= \frac{AB}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Из прямоугольного треугольника ВSH находим: $SH= $\sqrt{аргумента: SA ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
Отрезки SH и OB перпендикуляры плоскости АВС, поэтому они параллельны между собой, а значит, четырехугольник BOSH  — прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту OL, тогда

$OL = BH = \sqrt{3}$
$LH = OB = R$
$LS = SH - LH = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента - R$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OLS получаем: $OS ^2 = OL ^2 + LS ^2$ то есть

$R ^2 + 1 = ( $\sqrt{3}$ ) ^2 + ( $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента - R ) ^2$

откуда $R = \frac{15}{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}$

Ответ: б) $\frac{15}{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}$